つねに成り立つ不等式
x²+4x+k>0の解が「すべての実数」となるkの範囲を求めなさい
"y=ax²+bx+c"が下に凸なとき、
2次関数のグラフがx軸との共有点をもたないためには、
判別式がD<0である必要がありました。
この性質を利用して、「x²+4x+k>0の解がすべての実数」となるkの範囲を求めることが可能です。
まずイメージしやすいように、"y=x²+4x+k"としてグラフをかいてみましょう。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でOKです。
「x²+4x+k>0の解がすべての実数」になるということは、"y=x²+4x+k"のグラフがつねにx軸よりも上にあるということと等しいです。ですので、グラフは次のようになります。
ここで1つ思い出しましょう。
"
y=x²+4x+k"のグラフがつねにx軸よりも上にある"とはどういうことでしょうか。
そう、
判別式DがD<0であれば、与えられた関数のグラフは常にx軸の上に放物線を描きますよね。ということで
"D=b²-4ac"にa=1、b=4、c=kを代入します。
b²-4ac
=4²-4・1・k
=16ー4k
D<0より
16ー4k<0
ー4k<-16
k>4
これが条件を満たすkの範囲となります。