"ｙ＝aｘ²＋ｂｘ＋ｃ"が下に凸なとき、２次関数のグラフがｘ軸との共有点をもたないためには、判別式がＤ＜０である必要がありました。

この性質を利用して、「ｘ²＋４ｘ＋ｋ＞０の解がすべての実数」となるkの範囲を求めることが可能です。
まずイメージしやすいように、"ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋ｋ"としてグラフをかいてみましょう。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でＯＫです。

「ｘ²＋４ｘ＋ｋ＞０の解がすべての実数」になるということは、"ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋ｋ"のグラフがつねにｘ軸よりも上にあるということと等しいです。ですので、グラフは次のようになります。



ここで１つ思い出しましょう。
"ｙ＝ｘ²＋４ｘ＋ｋ"のグラフがつねにｘ軸よりも上にある"とはどういうことでしょうか。

そう、判別式ＤがＤ＜０であれば、与えられた関数のグラフは常にｘ軸の上に放物線を描きますよね。ということで

"Ｄ＝ｂ²－４aｃ"にa＝１、ｂ＝４、ｃ＝ｋを代入します。

　ｂ²－４aｃ
＝４²－４・１・ｋ
＝１６ー４ｋ

Ｄ＜０より
１６ー４ｋ＜０
ー４ｋ＜－１６
ｋ＞４

これが条件を満たすｋの範囲となります。