命題の対偶
この命題の
対偶は、「
」でした。そして対偶が真ならばもとの命題も真、対偶が偽ならばもとの命題も偽となる性質がありましたね。
この対偶の性質を利用して、命題が真（偽）であることを証明する問題についてみていきましょう。「
対偶が真なので与えられた命題は真だよ」という流れで証明をしていきます。
問題 整数nについて、対偶を利用して次の命題を証明しましょう。
ｎ²が５の倍数のとき、ｎが５の倍数である
まず命題を整理します。説明をしやすくするために、「ｎ²が５の倍数」を条件ｐ、「ｎが５の倍数」を条件ｑqとしましょう。つまりこの命題は、「p⇒q」となりますね。この命題を証明するために命題と対偶の関係を利用します。つまり「p⇒q」の対偶「
」が正しいかをチェックするということです。
ｎが５の倍数の否定
まず
をきちんと把握しましょう。
ｎが５の倍数ではないを文字式におこしてみます。整数ｋを用いて
ｎ＝５ｋ＋１
ｎ＝５ｋ＋２
ｎ＝５ｋ＋３
ｎ＝５ｋ＋４
の４通りが考えられます。
対偶を用いた証明の問題ですが、ここが一番のポイントかもしれません。ではそれぞれの場合で考えて見ましょう。
■ｎ＝５ｋ＋１のとき
"ｎ＝５ｋ＋１"のときｎ²は
ｎ²
＝(５ｋ＋１)²
＝２５ｋ²＋１０ｋ＋１
＝５(５ｋ²＋２ｋ)＋１
ｋが整数なので、"(５ｋ²＋２ｋ)"もまた整数となります。また、"５(５ｋ²＋２ｋ)"は５の倍数なのでこのことから、"５(５ｋ²＋２ｋ)＋１"は５の倍数ではないことがわかりますね。
■ｎ＝５ｋ＋２のとき
"ｎ＝５ｋ＋２"のときｎ²は
ｎ²
＝(５ｋ＋２)²
＝２５ｋ²＋２０ｋ＋４
＝５(５ｋ²＋４ｋ)＋４
ｋが整数なので、"(５ｋ²＋４ｋ)"もまた整数となります。また、"５(５ｋ²＋４ｋ)"は５の倍数なのでこのことから、"５(５ｋ²＋４ｋ)＋４"は５の倍数ではないことがわかります。
■ｎ＝５ｋ＋３のとき
"ｎ＝５ｋ＋３"のときｎ²は
ｎ²
＝(５ｋ＋３)²
＝２５ｋ²＋３０ｋ＋９
＝５(５ｋ²＋６ｋ)＋９
ｋが整数なので、"(５ｋ²＋６ｋ)"もまた整数となります。また、"５(５ｋ²＋６ｋ)"は５の倍数なのでこのことから、"５(５ｋ²＋６ｋ)＋９"は５の倍数ではないことがわかります。
■ｎ＝５ｋ＋４のとき
"ｎ＝５ｋ＋４"のときｎ²は
ｎ²
＝(５ｋ＋４)²
＝２５ｋ²＋４０ｋ＋１６
＝５(５ｋ²＋８ｋ)＋１６
ｋが整数なので、"(５ｋ²＋８ｋ)"もまた整数となります。また、"５(５ｋ²＋８ｋ)"は５の倍数なのでこのことから、"５(５ｋ²＋８ｋ)＋１６"は５の倍数ではないことがわかります。
以上のことから、「ｎが５の倍数でないとき、ｎ²は５の倍数ではない」ことがわかりました。
命題の対偶「
」がつねに成り立つことがわかったので、もとの命題である「ｎ²が５の倍数のとき、ｎが５の倍数である」が証明されたことになります。
