集合と要素[わかりやすい説明と記号の書き方・練習問題]

集合とは"グループ"です。そして要素とは、そのグループの"メンバー"のことを指します。

例えばビートルズ。みなさんご存知かと思いますが、ビートルズという「グループ」は数学でいう"集合"です。ビートルズのメンバーは「ポール・マッカートニー、ジョン・レノン、ジョージ・ハリスン、リンゴ・スター」の４人ですが、この４人のことを、ビートルズという集合を構成する"要素"といいます。図に書くとこうなります。


４人を囲むグループ（ビートルズ）が集合で、集合を構成する４人が要素です。


では集合と要素の意味がわかったところで、これから集合と要素を数学的にどう表すかをみていきます。





集合を数学的に表すには、上に書いた２つの方法があります。どちらも集合Ａを表しています。
①は"｛｝"の中に、集合を構成する要素をすべて書きだす方法です。

ビートルズ＝｛ポール、ジョン、ジョージ、リンゴ｝

ビートルズを例に書くと、こうなりますね。

ビートルズのように、集合を構成する要素が４人だけだとすべて書きだすのは簡単ですが、すべて書きだすには大変な場合に役立つのが②です。

Ａ＝｛ｘ｜ｘを満たす条件｝
まず、「集合Ａはｘである」と書きます。（赤文字の部分）

Ａ＝｛ｘ｜ｘを満たす条件｝
では「ｘって何？」ということを、赤文字の部分に書きこみます。

ビートルズを例に出すと

ビートルズ＝｛ｘ｜ｘはビートルズのメンバー｝

となります。
集合はこの２つの方法で表すことができることを理解しておいてください。


有限集合と無限集合という言葉があります。例えば

①　Ａ＝｛ｘ｜１００の約数｝
②　Ｂ＝｛ｘ｜ｘは２の倍数｝

①の集合Ａを構成する要素「１００の約数」には限りがあります。全部書くのは億劫ですが、「１、２、４、５、…１００」とすべてを書きだすことができますね。要素に限りがある集合のことを、有限集合といいます。

一方で②の集合Ｂを構成する要素「ｘは２の倍数」はどうでしょう。ｘが永遠に増える限り、集合Ｂを構成する要素は無限に増え続けます。つまり「終わりがない＝無限」なんですね。無限に要素がある集合のことを無限集合といいます。


次に集合を表す記号を覚えていきましょう。
ここで紹介する記号は、"∈"と"∉"です。"∈"のことを"属する"と読みます。

「ポール、ジョン、ジョージ、リンゴ」∈ビートルズ

と書くことで、要素（メンバー４人）は集合（ビートルズというグループ）を構成するものであることを示します。

ちなみに要素が集合を構成するものでないときは、"∉"を使います。例えば

マイケル・ジャクソン∉ビートルズ

と書くことで、マイケル・ジャクソンは、ビートルズを構成する要素ではない(メンバーではない）ということがわかります。

では、練習問題を通してここまで学習してきたことを身につけていきましょう。

問題


１２の正の約数は、１、２、３、４、６、１２なので、２は集合Ａの要素で、５は集合Ａの要素ではないことがわかります。以上のことから「２∈Ａ」、「５∉Ａ」が答えとなります。