三垂線の定理
αという平面上に直線ｌがあります。この平面α上にはない点Ｐをとって、点Ｐから平面αに垂直におろした直線とαとの交点をＯとします。Ｏから直線ｌに垂線をひき、その交点をＡとします。この条件のとき、次の定理が成り立ちます。
①ＰＯ⊥α、ＯＡ⊥ｌならば、ＰＡ⊥ｌ
②ＰＯ⊥α、ＰＡ⊥ｌならば、ＯＡ⊥ｌ
③ＰＡ⊥ｌ、ＯＡ⊥ｌ、ＰＯ⊥ＡＯならば、ＰＯ⊥α
証明
■①ＰＯ⊥α、ＯＡ⊥ｌならば、ＰＡ⊥ｌの証明
ＰＯ⊥αより、ＰＯとｌは垂直に交わることがわかる。
よって直線ｌは、平面ＡＯＰ上の２つの直線ＰＯとＯＡに垂直に交わるとなる。このことから、直線ｌと平面ＡＯＰは垂直に交わることがわかる。
ＰＡは平面ＡＯＰ上にあることから、、ＰＡと直線ｌが垂直に交わることが導き出せる。
■②ＰＯ⊥α、ＰＡ⊥ｌならば、ＯＡ⊥ｌの証明
ＰＯ⊥αより、ＰＯと直線ｌは垂直に交わることがわかる。
よって直線ｌは、平面ＡＯＰ上の２つの直線ＰＯとＰＡに垂直に交わるとなる。このことから、直線ｌと平面ＡＯＰは垂直に交わることがわかる。
ＯＡは平面ＡＯＰ上にあることから、ＯＡと直線ｌが垂直に交わることが導き出せる。
■③ＰＡ⊥ｌ、ＯＡ⊥ｌ、ＰＯ⊥ＡＯならば、ＰＯ⊥α
直線ｌは平面ＡＯＰ上の２つの直線、ＰＡとＯＡに垂直に交わることから、直線ｌと平面ＡＯＰは垂直に交わる。
また、ＰＯは平面ＡＯＰ上にあることから、ＯＡと直線ｌが垂直に交わる。したがって、ＰＯは平面α上にあるＡＯと直線ｌに垂直で交わることとなるので、ＰＯとαが垂直に交わることが導き出せる。
証明おわり。
