マナペディアトップ > 高校 > 数学I > 数と式/集合 > ２次方程式/解の公式 > ２次方程式の解と係数の関係の証明

２次方程式の解と係数の関係の証明

著者名：となりがトトロ

２次方程式の解と係数の関係

ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると

$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

このテキストでは、この計算が成り立つかを証明します。

証明

解の公式より、ａ≠０のとき $ax ^{2} +bx+c=0$ の解は

$x=- \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$

となる。
$\alpha=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$\beta=- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
としたとき、（※αとβが逆でもよい）

■α＋β

$\alpha + \beta$
$=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} - \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$= \frac{-2b}{2a}$
$=- \frac{b}{a}$

■αβ

$\alpha \beta$
$=\left( - \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}\right) \left(- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} \right)$
$= \frac{ \left(-b\right) ^{2} - \left( \sqrt{b ^{2} -4ac} \right) ^{2} }{ \left(2a ^{} \right) ^{2} }$
$= \frac{b ^{2} - \left(b ^{2} -4ac\right) }{4a ^{2} }$
$= \frac{4ac}{4a ^{2} }$
$= \frac{c}{a}$

このことから、ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると
$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立つことがわかった。
証明おわり。

・解の公式を使った２次方程式の解き方

・高校数学Ⅰの２次方程式の解き方・計算に使う公式の一覧

・二次方程式　解の公式の証明・導き方

・「判別式」はどうしていつもDなの？

・因数分解も解の公式も使えない２次方程式の解き方

証明, ２次方程式, ２次方程式の解と係数の関係, 解と係数の関係,

『教科書　数学Ⅰ』　東京書籍

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	13,056 pt
役に立った数	6 pt
う〜ん数	1 pt
マイリスト数	0 pt

知りたいことを検索！

まとめ

このテキストのまとめは存在しません。

デイリーランキング

	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説
	『鴻門之会・剣の舞』(沛公旦日従百余騎〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（日もいと長きにつれづれなれば〜）」の現代語訳・解説
4	史記『四面楚歌』(項王軍壁垓下〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
5	『鴻門之会・樊噲、頭髪上指す』(於是張良至軍門、見樊噲〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
6	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（前の世にも御契りや〜）』の現代語訳・解説
7	土佐日記『門出』(男もすなる日記といふものを〜)現代語訳・口語訳と解説
8	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（尼君、髪をかきなでつつ〜）」の現代語訳と解説
9	土佐日記『帰京』（京に入り立ちてうれし～）わかりやすい現代語訳と解説
10	伊勢物語『東下り・三河』(昔、男ありけり〜)のわかりやすい現代語訳と解説