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２次方程式の解と係数の関係の証明

著者名：となりがトトロ

２次方程式の解と係数の関係

ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると

$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

このテキストでは、この計算が成り立つかを証明します。

証明

解の公式より、ａ≠０のとき $ax ^{2} +bx+c=0$ の解は

$x=- \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$

となる。
$\alpha=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$\beta=- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
としたとき、（※αとβが逆でもよい）

■α＋β

$\alpha + \beta$
$=- \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} - \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$
$= \frac{-2b}{2a}$
$=- \frac{b}{a}$

■αβ

$\alpha \beta$
$=\left( - \frac{b}{2a} + \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}\right) \left(- \frac{b}{2a} - \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a} \right)$
$= \frac{ \left(-b\right) ^{2} - \left( \sqrt{b ^{2} -4ac} \right) ^{2} }{ \left(2a ^{} \right) ^{2} }$
$= \frac{b ^{2} - \left(b ^{2} -4ac\right) }{4a ^{2} }$
$= \frac{4ac}{4a ^{2} }$
$= \frac{c}{a}$

このことから、ａ≠０のとき、２次方程式 $ax ^{2} +bx+c=0$ の２つの解をα、βとすると
$\cdot \alpha + \beta =- \frac{b}{a}$
$\cdot \alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立つことがわかった。
証明おわり。

・２次方程式「解の公式の証明」

・判別式の応用[２次方程式が実数解をもつための範囲を求める問題]

・「判別式」はどうしていつもDなの？

・判別式とは[２次方程式の判別式"D"と解の個数を求める問題]

・因数分解も解の公式も使えない２次方程式の解き方

証明, ２次方程式, ２次方程式の解と係数の関係, 解と係数の関係,

『教科書　数学Ⅰ』　東京書籍

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