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数と式/集合 / ２次方程式/解の公式

二次方程式　解の公式の証明・導き方

著者名：となりがトトロ

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2次方程式の解の公式

ａ≠０のとき、 $ax ^{2} +bx+c=0$ の解は

$x=- \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$

と表すことができます。これを証明していきましょう。

証明

$ax ^{2} +bx+c=0$
の両辺をaで割る。

$x ^{2} + \frac{b}{a} x+ \frac{c}{a} =0$
$x ^{2} + \frac{b}{a} x=- \frac{c}{a}$

続いて左辺を（）²とできるように手を加える

$x ^{2} + \frac{b}{a} + \frac{b ^{2} }{4a ^{2} } - \frac{b ^{2} }{4a ^{2} } =- \frac{c}{a}$
$\left(x+ \frac{b}{2a} \right) ^{2} - \frac{b ^{2} }{4a ^{2} } =- \frac{c}{a}$
$\left(x+ \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{b ^{2} }{4a ^{2} } - \frac{c}{a}$
$\left(x+ \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{b ^{2} -4ac}{4a ^{2} }$
$x+ \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b ^{2} -4ac}{4a ^{2} } }$
$x=- \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b ^{2} -4ac}{4a ^{2} } }$
$x=- \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b ^{2} -4ac} }{2a}$

証明おわり。

（）²とできるように
$\frac{b ^{2} }{4a ^{2} }$
を足して引くという発想が難しいかもしれないですね。

・因数分解も解の公式も使えない２次方程式の解き方

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『教科書　数学Ⅰ』　東京書籍

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