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三角関数 / 三角関数

数学Ⅱの三角関数で使う公式の一覧

著者名：となりがトトロ

数学Ⅱの三角関数で使う公式

三角関数の性質

※ｎは整数とする。
$\sin \left( \theta +360 ^{ \circ } \times n\right) = \sin \theta$
$\cos \left( \theta +360 ^{ \circ } \times n\right) = \cos \theta$
$\tan \left( \theta +360 ^{ \circ } \times n\right) = \tan \theta$

正弦の加法定理

$\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin \left( \alpha - \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

・sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβの証明
・sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβの証明

余弦の加法定理

$\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

・cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβの証明
・cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβの証明

正接の加法定理

$\tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta }{1- \tan \alpha \tan \beta }$
$\tan \left( \alpha - \beta \right) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1+ \tan \alpha \tan \beta }$

・tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）の証明
・tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）の証明

２倍角の公式

$\sin 2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2 \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha -1=1-2 \sin ^{2} \alpha$
$\tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha }{1- \tan ^{2} \alpha }$

・sin2α=2sinαcosαの証明
・cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-sin²αの証明
・tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明

半角の公式

$\sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1- \cos 2 \alpha }{2}$
$\cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1+ \cos 2 \alpha }{2}$
$\tan ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1- \cos \alpha }{1+ \cos \alpha }$

・sin²α/2=（1-cos2α）/2の証明
・cos²α/2=（1+cos2α）/2の証明
・tan²α/2=（1-cosα）/（1+cosα）の証明

積和の公式

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \right)$
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \right)$
$\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \left( \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \right)$

・sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}の証明
・cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}の証明
・sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}の証明

和積の公式

$\sin A + \sin B =2 \sin \frac{ A + B }{2} \cos \frac{ A - B }{2}$
$\sin A - \sin B =2 \cos \frac{ A + B }{2} \sin \frac{ A - B }{2}$
$\cos A + \cos B =2 \cos \frac{ A + B }{2} \cos \frac{ A - B }{2}$
$\cos A - \cos B =-2 \sin \frac{ A + B }{2} \sin \frac{ A - B }{2}$

・sinA+sinB=2{sin(A+B)/2}{cos(A+B)/2}の証明
・sinA-sinB=2{cos(A+B)/2}{sin(A-B)/2}の証明
・cosA+cosB=2{cos(A+B)/2}{cos(A-B)/2}の証明
・cosA-cosB=-2{sin(A+B)/2}{sin(A-B)/2}の証明

合成関数

$a \sin \theta +b \cos \theta = \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } \sin \left( \theta + \alpha \right)$

ただし、次の条件とする。
$\sin \alpha = \frac{b}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$
$\cos \alpha = \frac{a}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$

三角関数の合成公式（合成関数）の証明

・弧度を利用した扇の弧の長さと面積の求め方

・三角関数tan(θ−π/４)=１[角度の部分が複雑な方程式の計算問題]

・三角関数tanθを含む不等式の基本問題

・三角関数cosθを含む不等式の基本問題

・y＝tanθのグラフの書き方[三角関数のグラフ]

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『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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