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合成関数の導関数の計算

著者名： OKボーイ

合成関数の導関数の公式

$y= \left(x ^{2} -2x+4\right) ^{2}$
このような関数は、 $u=x ^{2} -2x+4$ 　とおくと

$y=u ^{2}$
$u=x ^{2} -2x+4$
この２つの関数が合成された合成関数であると言えます。
このとき、次の公式が成り立ちました。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

これを利用して次の合成関数の導関数を求めてみましょう。

問題

$y= \left(x ^{2} -2x+4\right) ^{2}$ 　の導関数を求めなさい。

解答

まず、 $u=x ^{2} -2x+4$ 　とおきます。すると

$\left(x ^{2} -2x+4\right) ^{2} =u ^{2}$ 　
となり
$\frac{dx}{du} =2u$ 　、 $\frac{du}{dx} =2x-2$

となります。よって①の公式より
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
$=2u \cdot \left(2x-2\right)$
$= \left(x ^{2} -2x+4\right) \left(2x-2\right)$
$=2 \left(x ^{3} -3x ^{2} +6x-4\right)$
が求まります。

計算問題, 公式, 計算, 導関数, 合成関数,

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

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