極限値
関数f(x)において、(x=aでなないうえで)xの値がどんどんaに限りなく近づいていくとします。
これにあわせてf(x)の値もとある一定の値、αに近づくことになります。このとき、
f(x)が限りなく近づくαの値のことをf(x)の極限値と言います。
この状態のことを数式で以下のように表します。
※
または、x→a のとき、 f(x)→α とも書きます。
xがaに近づくとき、f(x)はαに近づいていくということですね。
aとαを混同させないように注意しましょう。
例をみてみよう
f(x)=x+1のとき、
)
…① がどうなるのかをみてみましょう。
①の意味することは、xが限りなく1に近づくとき、f(x)はどの値に近づいていくでしょうかということです。
例えば、xを0.9からスタートして、0.99、0.999と1に近づけていくとf(x)の値はどうなるかを下にまとめてみました。
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | … |
f(x) | 1.9 | 1.99 | 1.999 | … |
f(x)は2に近づいていることがわかります。
また逆に、xを1.1からスタートして、1.09、1.08、1.07と近づけると次のようになります。
x | 1.09 | 1.08 | 1.07 | … |
f(x) | 2.09 | 2.08 | 2.07 | … |
これも同じように2に近づいていますね。
以上のことから、
=2)
であることがわかります。
普段はこういう面倒くさいことをせずに、x=1をf(x)に代入して、その値をf(x)の極限値としてしまえばいいのですが、本来の考え方はこうなんだと覚えておいてください。