アポロニウスの円とは
mとnが異なる正の数のとき、2つの点AとBからの距離がm:nである点Pの軌跡は、線分ABをm:nに内分する点と、線分ABをm:nに外分する点を直径の両端とする円になります。この円のことを
アポロニウスの円と言います。
2つの点A(1,0)とB(4,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めてみましょう。
点PをP(a、b)とおいたとき、AP:PB=2:1であればよいということですね。
AP:PB=2:1より、AP=2PB よって
…①
あとはAPとPBを求めて①に代入しましょう。
これらを①に代入して
展開すると
…②
ゆえに、条件を満たす点は②上にあるます。逆に②上の任意の点Pは、計算を遡ると問題の条件を満たすことがわかります。
よって、
求める点Pの軌跡は(5,0)を中心とする半径2の円となります。