点の軌跡を求める問題[アポロニウスの円の証明]

まずは次の問題を解いてみましょう。


軌跡を求めるテクニックを用いて解いていきましょう。

まず、点Pの座標を(x，y)とします。
問題より、AP：BP＝３：１なので、"AP＝３BP"
両辺を２乗すると"AP²＝９BP²"　ー①

APとBPの関係式が求まったところで、APとBPの長さを求めていきます。

AP²＝(x−０)²＋(y−０)²＝x²＋y²　ー②
PB²＝(x−４)²＋(y−０)²＝(x−４)²＋y²　ー③

①に②と③を代入します。

x²＋y²＝３{(x−４)²＋y²}
x²＋y²＝３(x²−８x＋１６)＋３y²
x²＋y²＝３x²−２４x＋４８＋３y²
２x²−２４x＋４８＋２y²＝０
x²−１２x＋２４＋y²＝０
x²−１２x＋３６−３６＋２４＋y²＝０
(x−６)²＋y²＝１２
(x−６)²＋y²＝(2√3)²

以上から、条件を満たす点Pは、(６，０)を中心とする半径2√3の円とわかりました。求めた円を図にかくと次のようになります。




AP：BP＝３：１となる点の集合は図示した円ですが、このとき、点QはABを３：１に内分し、点RはABを３：１に外分します。このような性質をもつ円のことをアポロニウスの円といいます。

教科書には、「AP：BP＝m：nを満たす点Pの軌跡は〜」のように書いてありますが、実際に数値をいれた方がイメージしやすいのではないかと思います。