与えられた条件から関数の式を求める
不定積分の単元の問題です。
与えられた条件から、その条件を満たす関数の式を求める問題について解説していきます。
＜問題＞
次の条件を満たす関数F(x)を求めなさい。
F'(x)＝３x²−２
F(２)＝０
これまで、「不定積分を求めなさい」と言われて、
・∮２x
dx＝x²＋C
・∮(２t＋１)
dt＝t²＋t＋C
と求めてきたかと思いますが、"＋C"の値を正確に求めることができませんでした。この問題は、
具体的にxやtに数値を代入して、きちんと"＋C"の値まで求めましょうねという問題です。
解き方は２ステップです。
ステップ１：不定積分を求める
まずはこれまで通りのやり方で、F(x)を求めます。
"F'(x)＝３x²−２"ですから、
"F(x)＝x³−２x＋C"
が求まりますね。
+Cを忘れたらいけませんよ。
ステップ２：F(２)＝０を代入
与えられた条件"F(２)＝０"から、"
x＝２を代入すると、"x³−２x＋C"は０になる"ことを察します。つまり、
F(２)＝２³−２・２＋C＝０
８−４＋C＝０
C＝−４
以上から求めるF(X)の値は、
F(x)＝x³−２x−４
と求まりました。
これが正しいか確認するためには、この式が、問題で与えられた条件をきちんとクリアしているかをチェックすればOKです。具体的には、
■①F(x)を微分したときに、F'(x)＝３x²−２となるか
"F(x)＝x³−２x−４"より、
F'(x)＝３x²−２
■②x＝２を代入してF(２)＝０となるか
F(２)＝２³−２・２−４＝８−４−４＝０
求めた式は正しいといえますね。
