3次関数の極大値と極小値
ここでは、3次関数"
f(x)=x³−3x²+4"を用いて、
極大値と
極小値について説明をしていきます。極大値と極小値の説明にうつる前に、3次関数のグラフをかいていきます。
f(x)=x³−3x²+4のグラフ
増減表をうまく使うことで、3次関数や4次関数のグラフをかくことができます。"f(x)=x³−3x²+4"の増減表は次のようになります。
この増減表をもとにf(x)=x³−3x²+4のグラフをかくと、次のようになります。
増減表とグラフのかきかたがわからない人は、「
増減表を使った3次関数のグラフの書き方」を参考にしてください。全く同じ数字を使った関数の、増減表とグラフのかきかたについて説明してあります。
さて、グラフがかけたらいよいよ
極大値と
極小値について学んでいきます。
極大値と極小値
先ほど書いた増減表とグラフをみると、次の2つのことがわかります。
■x=0のときにグラフは増加から減少へとシフトする。
もっと具体的にいうならば、点(0,4)を境目に、グラフは増加から減少へとシフトします。このとき、
f(x)はx=0で極大になるといい、そのときのf(x)の値(すなわちf(0)=4)のことを、
極大値といいます。
■x=2のときにグラフは減少から増加へとシフトする。
もっと具体的にいうならば、点(2,0)を境目に、グラフは減少から増加へとシフトします。このとき、
f(x)はx=2で極小になるといい、そのときのf(x)の値(すなわちf(2)=0)のことを、
極小値といいます。
極大値も極小値も、グラフが増加から減少(または減少から増加)にシフトする点を指していることに注目しましょう。f'(x)の正負が変更するポイントが極大値、極小値であるとも言えます。
極大値と極小値をまとめて、
極値ということもありますので覚えておきましょう。