増減表を使った４次関数のグラフの書き方
増減表を用いて、４次関数"
f(x)＝x⁴−２x²"のグラフを書いてみましょう。
４次関数だろうが５次関数だろうが、
３次関数のグラフを書くのと同じ方法で、グラフを描くことができます。
ステップ１
まずは増減表を作っていきます。
f'(x)＝４x³−４x＝４x(x²−１)＝４x(x＋１)(x−１)
"f'(x)＝４x(x＋１)(x−１)"のグラフを書くと次のようになります。
このようにグラフを書いて、f'(x)の値が変化するポイントを求めてもOKです。しかしf'(x)のグラフをかくのにえらい時間がかかりそうですよね。このようなときは、
「"f'(x)＝０"となるxの値」を求めます。実は
この式を満たすxの値が、グラフの増減が変化するポイントなのです。
"f'(x)＝０"となるxの値は、"x＝０、１、−１"なので、この３つの値のときに、グラフの増減が変化することがわかります。
グラフと見比べてみましょう。計算で求めた"x＝０、１、−１"でグラフの正負が切り替わっていることがわかりますよね。
先ほど、グラフを書くのが面倒くさいので省略と述べましたが、グラフを書くと増減表を作成しやすいというメリットがあります。逆にグラフを書かなければ、グラフの作成にさく時間を省くことができる一方、増減表を書くときに頭を使わなければなりません。
"f'(x)＝４x(x＋１)(x−１)"のグラフより、
・x≦−１の範囲でf'(x)はマイナス
・−１≦x≦０の範囲でf'(x)はプラス
・０≦x≦１の範囲でf'(x)はマイナス
・１≦xの範囲でf'(x)はプラス
同様にして、f(x)の値が増加するか減少するかも記入していきます。
ステップ２
増減表ができたら、座標軸に関数"f(x)"の
増減が変化する境目の点を記入します。言葉で書くと難しく感じますが、要するに、増減表に記されている"
(−１,−１)、(０,０)、(１,−１)"のことです。
ステップ３
変化の境目がわかったら、"x≦−１"、"−１≦x≦０"、"０≦x≦１"、"１≦x"の４つの範囲でf(x)の値が増えているのか、それとも減っているのかを考えましょう。
まず"x≦−１"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は減少していることがわかります。
よって次のようにグラフをかきます。
次に"−１≦x≦０"。
この範囲では、増減表より、f(x)の値は増加していることがわかります。
次に"０≦x≦１"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は減少していることがわかります。
最後に"１≦x"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は増加していることがわかります。
これが"
f(x)＝x⁴−２x²"のグラフです。
グラフより、
・x＝０のときに極大値０
・x＝±１のときに極小値−１
となります。
増減表のxの範囲を見て、xがどういう範囲であればf(x)の値が増えるのか、また減るのか、を把握することが大切
