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円に内接する四角形の面積をサインを使って求める問題 |
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著作名:
ふぇるまー
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円に内接する四角形ABCDにおいて、"AB=4、BC=3、CD=1、∠ABC=60°"のとき、ADの長さと四角形ABCDの面積Sを求めなさい。
与えられた条件で図をイメージしてかくとこのようになります。
(※あくまでもイメージで、この角の割合が正しいかはわかりません。)
「四角形の面積を求める方法を学習していない!!」と焦ることはありません。
四角形ABCDは、ACに補助線を引くことで△ABCと△ACDに2分することができ、それぞれの三角形の面積を求めて足し合わせることで、四角形の面積を求めることができます。
こう考えたら、少しは問題を解ける気がしませんか?
まずはADの長さから求めましょう。
ADを求めるには、△ACDに正弦定理、もしくは余弦定理を用いる必要があります。
正弦定理の場合、例えば
となるでしょうが、与えられた数値だけでは∠ACDの値を求めることはできないので、正弦定理を用いることは難しそうです。では、余弦定理はどうでしょうか。
AC²=AD²+DC²−2・AD・DC・cosACD ー①
四角形ABCDは円に内接しているので、"∠ACD=180°−60°=120°"です。なので、ACの長さがわかれば与えられた条件で"AD"の長さを求めることができそうですね。というわけで、まずはACの長さを求めましょう。
△ABCに余弦定理を適用すると、
AC²=4²+3²−2・4・3・cos60°
AC²=16+9−24・1/2
AC²=13
"AC>0"より、"AC=√13"と求まりました。
これを①に代入します。
13=AD²+1²−2・AD・1・cos120°
AD²+AD−12=0
(AD+4)(AD−3)=0
"AD>0"より、"AD=3"。
サインを使って三角形の面積を求める公式を使って△ABCの面積S1と、△ACDの面積S2を求めて、それらを足し合わせていきます。
これを整理すると
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