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定義域と値域から２次関数の式を求める問題 |
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著作名：
ふぇるまー
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２次関数の定義域と値域
問題
a＞０である２次関数"y＝ax²−４ax＋４a＋b"の定義域が−１≦x≦３のとき、その値域は−５≦y≦４です。このとき、定数aとbの値を求めてみましょう
a＞０である２次関数"y＝ax²−４ax＋４a＋b"の定義域が−１≦x≦３のとき、その値域は−５≦y≦４です。このとき、定数aとbの値を求めてみましょう
２次関数の定義域と値域を使った問題ですね。
効率よく解くコツは、グラフをうまく使うことです。
解法
ということでまずはグラフを書いてみましょう。
a＞０なので、グラフは下に凸な放物線を描くことになります。
"y＝ax²−４ax＋４a＋b"を平方完成すると
y＝a(x²−４x＋４)＋b
y＝a(x−２)²＋b
なので、このグラフは(−２、b)を頂点とする下に凸なグラフとなります。
すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でＯＫです。
このグラフをもとに、与えられた条件を考えていきます。
定義域が−１≦x≦３のときの値域をグラフから読み取ると
b≦y≦９a＋b
となりますね。このことから
b＝−５
９a＋b＝４
これを整理して
a＝１
が求まります。正しいか確認するためには、a＝１、b＝−５を与えられた式に代入して、−１≦x≦３の範囲で値域がどうなるかをチェックしてみると良いでしょう。
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