背理法を用いた命題の証明
ここでは、「√5が無理数であることを背理法を使って証明する問題」を通して、背理法への理解を深めていきましょう。背理法について未学習の人は、「
命題[背理法を用いた証明と練習問題]」で学習してからこちらのテキストに戻ってきてください。
「○○が無理数であることを、背理法を用いて証明」は、よく出題される形式の問題です。解き方のパターンが決まっているので、しっかりと解法をマスターしましょう。
問題
「√5が無理数であることを、背理法を用いて証明しなさい。」
解法
まず命題を整理します。説明をしやすくするために、「√5である」を条件p、「無理数である」を条件qとします。つまり与えられた命題は、「p⇒q」となります。
これを背理法を用いて証明するわけですから、「
」と仮定して、ここに矛盾がないかどうかをチェックしていきましょう。
「
」を言葉で表すと、「無理数ではない」すなわち「有理数である」となるので、有理数についてちょっと思い出してみましょう。
有理数とは、「整数Ａと、０ではない整数Ｂを使って、"Ａ/Ｂ"の形で表す数のこと」でした。（1/3、0.3など）
√5が有理数ということは、整数Ａと、０ではない整数Ｂを使って
√5＝A/B ー①
と表すことができます。ちなみにA/Bは、これ以上約分することができない"
既約分数"です。
①を変形して２乗していきます。
"√5＝A/B"より"B√5＝A"
これを２乗して
(B√5)²＝(A)²
5B²＝A² ー②
②式の左辺は５の倍数ですね。ですので必然的に②式の右辺（A²）もまた５の倍数となります。ここで、「
A²が５の倍数ならば、Aは５の倍数である」という性質を用います。(※ほかの背理法の問題で証明されていることなので、ここではこの性質の証明は省きます。)
そこでAを、整数kを用いて
A＝５kとおき、②式に代入をすると
5B²＝A²
5B²＝(５k)²
5B²＝２５k²
B²＝５k²
つまりB²が５の倍数であることがわかりますね。先ほどと同じように、「
A²が５の倍数ならば、Aは５の倍数である」という性質を用いると、Bもまた５の倍数であることがわかります。
以上のことから、AとBは５の倍数であることがわかりました。これは、「A/Bは有理数（既約分数）」と仮定したことに矛盾しますね。（AもBも５の倍数なので、少なくともA/Bは５で約分できるとなります。）
ゆえに、「
」は成り立ちません。このことから、「p⇒q」すなわち「√5は無理数である」が証明されました。
