円の接線の長さの証明

著者名：となりがトトロ

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円の接線の長さ

円Ｏの外にある任意の点Ｐから、円Ｏに２本の接線を引き、円との交点をそれぞれＡ、Ｂとする。このときＰＡ=ＰＢとなる。

このテキストでは、この定理を証明します。

証明

△ＡＯＰと△ＢＯＰにおいて、ＯＡとＯＢは円の半径にあたるので

ＯＡ=ＯＢ　－①

またこれらは接線と垂直に交わることから、∠ＯＡＰ=∠ＯＢＰ＝９０°である。そして

辺ＰＯは共通　－②

△ＡＯＰと△ＢＯＰは直角三角形であるということ、そして①と②より、斜辺の長さと、１辺の長さが、それぞれ等しいという、直角三角形の合同条件を満たす。

以上のことから、△ＡＯＰと△ＢＯＰは合同であり、ＰＡ＝ＰＢが成り立つ。
証明おわり。

・「円に内接する四角形の対角の和は180°」定理の証明

・外接円をもつ四角形の性質

・円の特徴～同じ弦をもつ三角形～

・円の弧と弦にまつわる性質

・数学Ａの円で使う定理・性質の一覧

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『教科書　数学Ａ』　東京書籍

『教科書　新編数学Ａ』　数研出版

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