円に内接する四角形の性質
１：円に内接する四角形の対角の和は１８０°
２：四角形の内角は、その対角の外角に等しい
このテキストでは、これらの定理を証明します。
「円に内接する四角形の対角の和は１８０°」の証明
四角形ＡＢＣDが円Ｏに内接するとき、
∠ＢＡＤ＝α
∠ＢＣＤ＝β
とすると、
円の中心角は円周角の２倍の大きさにあたるので
∠ＢＯＤ（赤）＝２α
∠ＢＯＤ（青）＝２β
となる。すなわち
２α＋２β＝３６０°
この式の両辺を２で割ると
α＋β＝１８０° －①
以上のことから、「１：円に内接する四角形の対角の和は１８０°」が成り立つことが証明できた。
「四角形の内角は、その対角の外角に等しい」の証明
図をみると、∠ＢＣＤの外角の大きさは、
∠ＢＣＤの外角＝１８０°－β －②
となる。①を変形すると
α＝１８０°ーβ －③
②と③より、
∠ＢＣＤの外角＝αとなることがわかる。
以上で、「２：四角形の内角（α）は、その対角(β）の外角に等しい」が成り立つことが証明できた。
証明おわり。
