三角形の垂心の証明

このテキストでは、この定理を証明します。


△ＡＢＣの各頂点から、対辺に向かって垂線をおろす。（頂点Ａからは辺ＢＣに向かって、頂点Ｂからは辺ＡＣにむかって、頂点Ｃからは辺ＡＢに向かって。）下ろした直線は垂線なので、当然、各辺と垂直に交わることになる。

次に、頂点Ａを通り辺ＢＣと平行になる直線、頂点Ｂを通り辺ＡＣと平行になる直線、頂点Ｃを通り辺ＡＢと平行になる直線を引き、交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとする。

以上の補助線を引いたものが、次の図である。



ＲＡ//ＢＣ、ＰＢ//ＡＣより、四角形ＲＢＣＡは平行四辺形である。よって
ＢＣ＝ＲＡ　－①

同様にして、刺客荊ＡＢＣＱも平行四辺形なので、
ＢＣ＝ＡＱ　－②

①、②よりＲＡ＝ＡＱ　－③

ＢＣとＱＲは平行、そしてＡＤとＢＣが垂直に交わっていることから、
ＡＤ⊥ＲＱ　－④

③、④から、ＡＤは辺ＱＲの垂直二等分線であることがわかった。
同様にして、ＢＥとＣＦはそれぞれ、辺ＲＰと辺ＰＱの垂直二等分線であることもわかる。

三角形において、３つの辺の垂直二等分線は１つの点で交わるので（三角形の外心）、△ＰＱＲの各辺の垂直二等分線もまた、同じ１つの点で交わる。

△ＰＱＲの垂直二等分線ＡＰ、ＢＱ、ＣＲは、ＡＤ、ＢＥ、ＣＦを延長したものであるから、ＡＤ、ＢＥ、ＣＦもまた１点で交わるといえる。

証明おわり。