三角形の内心の性質
三角形の３つの内角それぞれの二等分線は、1点で交わる
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
△ＡＢＣにおいて、下図のように、∠ＡＢＣと∠ＡＣＢの交点をＯとする。Ｏから辺ＢＣ、辺ＣＡ、辺ＡＢにそれぞれ垂直に線をひき、その交点をＤ、Ｅ、Ｆとする。
まず、△ＦＢＯと△ＤＢＯについて考える。
線分ＢＯは∠ＦＢＤの二等分線なので、
∠ＦＢＯ＝∠ＤＢＯ －①
また、
∠ＯＦＢ＝∠ＯＤＢ＝９０° －②
△ＦＢＯにおいて
∠ＢＯＦ＝１８０°－（∠ＦＢＯ＋９０°） －③
△ＤＢＯにおいて
∠ＢＯＤ＝１８０°－（∠ＤＢＯ＋９０°） －④
①、②、③、④から
∠ＦＯＢ＝∠ＤＯＢ
であることがわかった。
つまり、△ＦＢＯと△ＤＢＯは、
１つの辺（辺ＢＯ）とその両端の角の大きさが等しいことから
合同であると言える。
（
※三角形の合同条件）
このことから、
OF=OD －⑤
となることがわかる。
△ＣＥＯと△ＣＤＯにおいても同様にして
OE=OD －⑥
であることがわかる。⑤と⑥から
OF=OE
であることもわかる。
つまり、△ＡＦＯと△ＡＥＯにおいて、斜辺の長さ（ＡＯ）とその他の１辺の長さが等しい（ＯＦ＝OE）ことから、△ＡＦＯと△ＡＥＯは合同であると言える。
（
※直角三角形の合同条件）
つまり
∠ＦＡＯ＝∠ＥＡＯなので、ＡＯは∠ＦＡＥも二等分することがわかる。
以上のことから、「三角形の３つの内角それぞれの二等分線は、1点で交わる」ことが証明できた。
証明おわり。
