三角形の角の二等分線と辺の比
三角形ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣを二等分する線とＢＣとの交点をＤとしたとき、次の定理が成り立つ。
ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
図のように、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線なので
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ －①
次に、下図のように頂点Ｃを通り
直線ＡＤと平行な直線をひく。
この直線と辺ＢＡの延長との交点をＥとしたとき、ＡＤとＥＣは平行なので
∠ＢＡＤ＝∠ＡＣＥ －②
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ －③
（
※錯角より）
①、②、③から、三角ＡＣＥは
ＡＥ＝ＡＣ －④
の二等辺三角形であることがわかる。
（※
※２つの角が等しい三角形は二等辺三角形）
次にＡＤとＥＣは平行であるので
ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ －⑤
（※
平行線と線分の比）
④と⑤より
ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ
が成り立つことがわかる。
証明おわり。
