三角形ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣを二等分する線とＢＣとの交点をＤとしたとき、次の定理が成り立つ。


このテキストでは、この定理を証明します。





図のように、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線なので

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ　－①

次に、下図のように頂点Ｃを通り直線ＡＤと平行な直線をひく。

この直線と辺ＢＡの延長との交点をＥとしたとき、ＡＤとＥＣは平行なので

∠ＢＡＤ＝∠ＡＣＥ　－②
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ　－③
（※錯角より）

①、②、③から、三角ＡＣＥは

ＡＥ＝ＡＣ　－④

の二等辺三角形であることがわかる。
（※※２つの角が等しい三角形は二等辺三角形）



次にＡＤとＥＣは平行であるので
ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ　－⑤
（※平行線と線分の比）

④と⑤より
ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ

が成り立つことがわかる。
証明おわり。