cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αの証明
２倍角の公式のうち、
の証明を行っていきますが、証明を行う前に
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβが成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。
証明
cos2αを変形して
 )
とします。ここに
加法定理を用いると、
 = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos ^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha )
－①
ということで、まず１つめが成り立つことがわかりました。
次にsinとcosの関係からsin²α+cos²α=1なので、これを変形した、sin²α=1-cos²αを①に代入すると
 = \cos ^{2} \alpha %2B \cos ^{2} \alpha -1=2 \cos ^{2} \alpha -1)
が成り立つことがわかりました。
最後に、さっきと同じようにしてsin²α+cos²α=1を変形した、cos²α=1-sin²αを①に代入すると
以上のことから
が成り立つことがわかる。
証明おわり。
練習問題
sinα=1/2のとき、cos2αの値を求めよ。
２倍角の公式より、cos2αは、
を用いれば求まることがわかっている。sinαの値がわかっているので、ここでは、
を用いてcos2αの値を求めていく。
 ^{2} =1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} )
答え：cos2α=1/2
