tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明
２倍角の公式のうち、tan2α=2tanα/(1-tan²α)の証明を行っていきますが、証明を行う前に
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）が成り立つことを理解しておきましょう。加法定理が成り立つことを前提に証明をしていきます。
証明
tan2αを変形して
 )
とします。ここに
加法定理を用いると、
 = \frac{ \tan \alpha %2B\tan \alpha }{1- \tan \alpha \tan \alpha } = \frac{ 2 \tan \alpha }{1- \tan ^{2} \alpha } )
以上のことから
が成り立つことがわかる。
証明おわり。
練習問題
sinα=1/2のとき、tan2αの値を求めよ。
ただし、0°≦α≦90°とする。
２倍角の公式より、tan2αは、
を用いれば求まることがわかっている。まずはtanαの値を求めなければならない。
sin、cos、tanの関係式に
があるので、まずはcosαの値を求めてから、tanαを計算するようにする。
sinとcosの関係式に、
があるので、これを使ってcosの値を求めていく。
sinα=1/2なのでこれを代入して
 ^{2} %2B \cos ^{2} \alpha =1)
ここで、
0°≦α≦90°よりcosα＞0なので
cosαの値が求まったので、
にsinαとcosαの値を代入して、tanαを求める。
あとは２倍角の公式にtanαの値を代入して、tan2αの値を求める。
 \div \left(1- \left( \frac{1}{ \sqrt{3} } \right) ^{2} \right) )
答え：tan2α=√3
