加法定理の証明 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)の証明
タンジェントを使った加法定理に
"
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)"があります。
これを証明してみましょう。
証明
サイン、コサイン、タンジェントの関係式に
があったが、
この式の「α」を「α+β」に置き換える。
sin(α+β)、cos(α+β)を加法定理で展開すると右辺は
ここで、ややこしいですが、分子と分母をそれぞれ
cosαcosβで割ります。
■分子
整理して

-①
ここで、
であることを思い出してください。
sinα/cosα=tanα、sinβ/cosβ=tanβなので、①式は
となります。
■分母
整理して

-②
ここで、
なので、
sinα/cosα=tanα、sinβcosβ=tanβより、②式は
となります。
分子と分母の計算ができたので、再びもとの式に戻すと
が成り立つことがわかります。
証明おわり。