半角の公式　sin²α/2=（1-cos2α）/2の導き方と使い方（証明・練習問題）

著者名：となりがトトロ

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sin²α=（1-cos2α）/2の証明

sin²α=（1-cos2α）/2の証明の前に、2倍角の公式：cos2α=1-2sin²αが成り立つことを理解しておきましょう。2倍角の公式が成り立つことを前提に証明をしていきます。

証明

2倍角の公式cos2α=1-2sin²αを変形して、
$2 \sin ^{2} \alpha =1- \cos 2 \alpha$
$\sin ^{2} \alpha = \frac{1- \cos 2 \alpha }{2}$

ここで、「α」を「α/2」に置き換えると
$\sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1- \cos \alpha }{2}$
が成り立つことがわかる。

証明おわり。

練習問題

半角の公式を用いて、sin30°の値を求めよ。

sin30°ということは、 $\sin \frac{60 ^{ \circ } }{2}$ ということなので、半角の公式より

$\sin ^{2} \frac{60 ^{ \circ } }{2} = \frac{1- \cos 60 ^{ \circ } }{2}$
$\sin ^{2} 30 ^{ \circ } = \frac{1- \frac{1}{2} }{2}$
$\sin ^{2} 30 ^{ \circ } = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

0°≦θ≦90°のとき、sinθはsinθ＞0となることから、sin30°＞0であることがわかる。このことから
$\sin 30 ^{ \circ } = \frac{1}{2}$

答え：sin30°=1/2

・積和の公式 sinαsinβ=-1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}　証明・導き方・覚え方

・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ　加法定理の証明

・加法定理の証明　sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβの証明

・和積の公式 sinA-sinB=2{cos(A+B)/2}{sin(A-B)/2}　作り方・導き方

・２倍角の公式　sin2α=2sinαcosαの証明と例題

数学Ⅱ, 半角の公式, 半角の公式の証明, sin²α=（1-cos2α）/2, sin²α=（1-cos2α）/2の証明,

『教科書　数学Ⅱ』　東京書籍

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