つみたてNISAがいくら増えるのかを等比数列を使って考えてみよう
等比数列を使った問題の中で、つみたてNISAや貯金のように、貯まっていくお金を計算する問題がよく出題されます。例えば次のような問題です
毎年ａ円ずつ積み立てています。１年預けるとｒの利息がつきます。このとき、ｎ年後にはいくらお金がたまっているかを考えてみましょう。
問題へのアプローチ方法
１年目、２年目、３年目・・・ｎ年目には
毎年いくらお金が預けるのか、
預けたお金はいくらになっているのかを考えてみましょう。
解法
まず、１年目に預けたお金が２年目にはいくらになるのか、２年目に預けたお金が３年目にはいくらになるのか、３年目に預けたお金は４年目にはいくらになるのかを考えます。
■１年目：ａ（１＋ｒ）円
ａ円預けて１年間でｒの利息がつくので、１年目のお金は２年目が始まる頃には
ａ（１＋ｒ）円になります。
■２年目：ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円
まず、毎年ａ円は必ず預けるので、２年目にもａ円を預けます。この預けたａ円は、２年目が終わる頃には
ａ（１＋ｒ）円となっています。
そしてこれとは別に、１年目に預けたお金にも利息がついてきます。
１年目に預けたお金は２年目が始まる頃に
ａ（１＋ｒ）円となっていましたが、このお金は３年目が始まる頃にはさらにｒの利息がついて
ａ（１＋ｒ）（１＋ｒ）＝ａ（１＋ｒ）²円
となります。合計すると２年目までに預けたお金の総額は
ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円
であることがわかりました。
■３年目：ａ（１＋ｒ）³＋ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円
３年目も同様にして、預けたお金の総額は
ａ（１＋ｒ）³＋ａ（１＋ｒ）²＋ａ（１＋ｒ）円
となります。
■ｎ年目はどうなる？
つまり、このことからｎ年目までに預けたお金の総額は、
ａ（１＋ｒ）ⁿ＋ａ（１＋ｒ）ⁿ⁻¹＋ａ（１＋ｒ）ⁿ⁻²・・・ａ（１＋ｒ）
で求めることができます。この等比数列の和を考えれば、ｎ年目までに預けたお金の合計金額がわかりますね。
ａ（１＋ｒ）を初項、
ａ（１＋ｒ）ⁿを末項、
１＋ｒを公比とすると、
等比数列の和の公式より
が求める金額の合計となります。
このように利息の計算をするのにも用いることができるのが、等差数列の特徴です。
