箱の体積を求める
「微分の最大最小値っていったい何の役にたつの！？」と思われるかもしれませんが、次のような問題に応用できます。
図のように１辺が６ｃｍの正方形の４隅から、合同な正方形を切り取ってふたのない箱を作ります。このとき箱の容量を最大にするには切り取る正方形の１辺を何ｃｍにしたらよいでしょうか
■下準備
このような場合にも微分の考え方が役に立ちます。
まず、切り取る正方形の１辺をｘｃｍ、箱の容積をVとすると次の式が成り立ちます。
^{2}x=4(x^{3}-6x^{2}%2B9x))
■ｘの範囲について考えてみましょう
ここで、ｘの範囲について考えてみましょう。
箱の１辺はプラスでなければなりませんので、当然ｘ＞０です。
そしてもう１つ、６－２ｘもまたプラスでなければなりませんね。
６－２ｘ＞０ 整理してｘ＜３
よってｘの範囲は、０＜ｘ＜３ でなければなりません。
■微分の登場
ここで微分が登場です。
Ｖをｘで微分すると
=12(x^{2}-4x%2B3)=12(x-1)(x-3))
とすると、ｘ＝１、３が導き出せます。
■増減表の作成
ここで増減表を作ってみましょう。
増減表よりｘ＝１のときにＶは極大値であり最大値１６をとりますね。
このように、微分を使った最大最小値は応用ができます。
