約数の総和の求め方
ここでは、約数の総和の求め方について説明していきます。
＜問題＞
整数２０の約数の総和を求めなさい。
まず、約数の総和とは何なのかを理解しなくてはいけません。２０の約数の総和とは、
２０の約数である｛１，２，４，５，１０，２０｝を全部足したものを指します。
今回の問題では、約数が６個だけなので、すべて書き出して足すことができましたが、約数の数が仮に５０個、１００個あったときにすべての約数を書き出すわけにはいきませんので、計算で求められる方法を身につけておきましょう。
約数の総和を求める公式
約数の総和を求めるためには公式があります。
整数を素因数分解して
と表すことができるときに、その約数の総和は、
 \cdot (b ^{0} %2Bb ^{1} %2B \cdots %2B b ^{y} ))
となる
ですが、これだけだと頭に入ってこないという人も多いでしょうから、この公式と照らしあわせて一緒に問題を解いてみましょう。３ステップで解いていきます。
ステップ１：素因数分解する
まず、与えられた整数を素因数分解します。
２０の素因数は２と５なので
２０＝２²×５
と表すことができます。
※１は素因数でないことに注意しましょう。
ステップ２：すべての約数が素因数で表せられることを理解する
次に、２０の約数｛１，２，４，５，１０，２０｝を素因数の形で表してみましょう。
１＝２⁰・５⁰
２＝２¹・５⁰
４＝２²・５⁰
５＝２⁰・５¹
１０＝２¹・５¹
２０＝２²・５¹
"２０＝２²・５¹"であることから、２０の約数は、２を"０〜２"回掛けあわせたものと、５を"０〜１"回掛けあわせたものの組み合わせで表すことができる、これに気がつけるかどうかが肝です。
ステップ３：約数の総和を求める
２０の約数は、｛１，２，４，５，１０，２０｝なので、これらを足しあわせてみましょう。
１＋２＋４＋５＋１０＋２０
これをステップ２の数字で置き換えてみます。
(2⁰・5⁰)+(2¹・5⁰)+(2²・5⁰)+(2⁰・5¹)+(2¹・5¹)+(2²・5¹) ー①
これをさらに変形すると、
(2⁰+2¹+2²)(5⁰+5¹) ー②
②式を展開すると①式になります。そして②式は、公式そのものですね。②の計算式を解くと、
(2⁰+2¹+2²)(5⁰+5¹)
＝(1+2+4)(1+5)
＝7×６
＝４２
実際にすべての約数を足してみても
１＋２＋４＋５＋１０＋２０＝４２
となるので、答えと求め方が正しいということがわかります。
それでは練習問題を通して、約数の個数の求め方について慣れていきましょう。
