三平方の定理
図のような直角三角形があるとき、a²+b²=c²となるのが
三平方の定理でした。では、なぜそうなるのかを証明してみましょう。
三平方の定理の証明
図のように、正方形ABCDの中に、正方形EFGHが入っています。また、△AEH、△DHG、△CGF、△BFEは合同な三角形で、それぞれの辺の長さがa、b、cとなっています。
このとき正方形ABCDの面積は、
(a+b)×(a+b)=(a+b)²=a²+2ab+b²
-①
と表せます。また、
正方形ABCD=△AEH+△DHG+△CGF+△BFE+正方形EFGH
でもあるので、次のように表すこともできます。
1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+1/2×a×b+c×c=2ab+c²
-②
①と②の面積が等しいことから①=②が成り立ちます。
a²+2ab+b²=2ab+c²
この式を整理するとa²+b²=c²が求まりますね。