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ベクトルの平行条件

著者名： OKボーイ

ここでは、 $\vec{a}$ 　と $\vec{b}$ 　が平行であるための条件をみてみましょう。

$\vec{0}$ 　ではないベクトル、
$\vec{a} = \left(a _{1} , a _{2} \right)$
$\vec{b} = \left(b _{1} , b _{2} \right)$
があったときに、この２つのベクトルが平行であるためには次のどちらかの条件を満たしている必要があります。

$\vec{b} =k \vec{a}$ となる実数「ｋ」がある

$a _{1} b _{2} -a _{2} b _{1} =0$

この２つの条件のうちどちらか１つを満たしていれば、２つのベクトルは平行であると言えます。
では実際に問題をみてみましょう。

問題

$\vec{a} = \left(x,3\right)$ 、 $\vec{b} = \left(3,-1\right)$ 　に対し、 $\vec{a} +2 \vec{b}$ 　と $3 \vec{b} -2 \vec{a}$ 　が平行になるようにｘの値を求めてみましょう。

解答

まず、 $\vec{a} +2 \vec{b}$ 　と $3 \vec{b} -2 \vec{a}$ 　に与えられた条件を代入します。

$\vec{a} +2 \vec{b}= \left(x,3\right) +2 \left(3,-1\right) = \left(x,3\right) + \left(6,-2\right) = \left(x+6,1\right) \neq 0$

$3 \vec{b} -2 \vec{a}=3 \left(3,-1\right) -2 \left(x,3\right) = \left(9,-3\right) - \left(2x,6\right) = \left(9-2x,-9\right) \neq 0$

$\vec{a}$ 　と $\vec{b}$ 　が平行であるためには、
$\vec{a} +2 \vec{b} =k \left(3 \vec{b} -2 \vec{a} \right)$ 　を満たす実数「ｋ」が存在すればよいので

$\left(x+6,1\right) =k \left(9-2x,-9\right)$ 　これを解きます。

$x+6=k \left(9-2x\right)$
$1=-9k$

この２つの連立方程式をとくと
$k=- \frac{1}{9}$
$x=-9$

となります。以上から、 $x=-9$ が答えです。

・ベクトルの垂直条件

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『教科書　数学Ｂ』　数研出版

『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

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