関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとします。このとき
開区間（ａ、ｂ）においてつねにｆ’（ｘ）＝０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で定数をとります。
これを証明してみましょう。
証明
まず、［ａ、ｂ］において「
ａ＜u＜v＜ｂ」となる任意の値「u」と「v」をとります。この［u、v］の範囲で
平均値の定理を使います。
平均値の定理とは、関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとき
 -f \left(a\right) }{b-a} =\acute{f} \left(c\right) )
となる定数ｃが存在する、というものでしたね。つまり
 -f \left(u\right) }{v-u} =\acute{f} \left(c\right) )
…①
（u＜ｃ＜v）
となるｃが存在することになります。
①を変形して
 -f \left(u\right) = \left(v-u\right) \acute{f} \left(c\right) )
この証明は、（ａ、ｂ）でつねにｆ’（ｘ）＝０であるという条件の上で始まっていますので、
ｆ’（ｃ）＝０ …②
②より
 -f \left(u\right) = \left(v-u\right) \times 0)
 = f \left(u\right) )
このことから開区間（ａ、ｂ）で常にｆ’（ｘ）＝０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で定数をとることがわかります。
