はじめに
このテキストでは、微分法において最も重要な定理と言っても過言ではない
平均値の定理をよりわかりやすく解説してみます。
平均値の定理
関数ｆ＝ｆ（ｘ）は、閉区間[ａ、ｂ]で連続、開区間（ａ、ｂ）で微分可能であるとします。このとき、
 -f \left(a\right) }{b-a} =\acute{f} \left(c\right) )
（ａ＜ｃ＜ｂ）
を満たす実数「ｃ」が存在する。
これが平均値の定理なのですが、いまいちわかりにくい。。。
もう少しわかりやすく説明してみましょう。
説明
まず、閉区間[ａ、ｂ]と開区間（ａ、ｂ）の意味はきちんと把握できていますか？
閉区間[ａ、ｂ]＝｛ｘ|ａ≦ｘ≦ｂ｝
開区間（ａ、ｂ）＝｛ｘ|ａ＜ｘ＜ｂ｝
です。これがわかったところでようやく本題です。
関数ｙ＝ｆ（ｘ）が次の図のような曲線を描いているとします。
曲線の端の点、Ａ（ａ、ｆ（ａ））とＢ（ｂ、ｆ（ｂ））を結ぶ線分の傾きは、
 -f \left(a\right) }{b-a} )
で表されます。
この傾きと、曲線のｘ＝ｃにおける接線の傾きｆ’（ｃ）とが等しくなる点Ｃ（ｃ、ｆ（ｃ））が曲線ＡＢ間に存在している。
すなわち
を満たす点Ｃ（ｃ、ｆ（ｃ））が存在している。
これが平均値の定理です。
