平均値の定理をわかりやすく噛み砕いて解説
このテキストでは、微分法において最も重要な定理と言っても過言ではない
平均値の定理をよりわかりやすく、噛み砕いて解説してみます。
平均値の定理
平均値の定理とは次のような定理でした。
関数f=f(x)は、閉区間[a、b]で連続、開区間(a、b)で微分可能であるとします。このとき、以下の式を満たすを満たす実数「c」が存在する。
※ (a<c<b)
これが平均値の定理なのですが、いまいちわかりにくい。。。
もう少しわかりやすく説明してみましょう。
説明
まず、閉区間[a、b]と開区間(a、b)の意味はきちんと把握できていますか?
閉区間[a、b]={x|a≦x≦b}
開区間(a、b)={x|a<x<b}
です。これがわかったところでようやく本題です。
関数y=f(x)が次の図のような曲線を描いているとします。
曲線の端の点、A(a、f(a))とB(b、f(b))を結ぶ線分の傾きは、
で表されます。
この傾きと、曲線のx=cにおける接線の傾きf’(c)とが等しくなる点C(c、f(c))が曲線AB間に存在している。
すなわち
を満たす点C(c、f(c))が存在している。
これが平均値の定理です。