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ｙ＝√ｘの導関数

著者名： OKボーイ

ｙ＝√ｘの導関数を求めてみましょう

関数ｆ（ｘ）の導関数ｆ’（ｘ）は
$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h}$ 　…①
で求めることができました。これを利用して「ｙ＝√ｘ」の導関数を求めてみましょう。

解法

①より
$\acute{f} \left( \sqrt{x} \right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{x+h} \right) - \left( \sqrt{x} \right) }{h}$

ここで分母と分子に（√ｘ＋ｈ＋√ｘ）をかけます。すると
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \left( \sqrt{x+h} \right) ^{2} - \left( \sqrt{x} \right) ^{2} }{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{ \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right) }$

ｈが変数、ｘは変数ではないので
$= \frac{1}{2 \sqrt{x} }$ 　となります。

ｙ＝√ｘは微分可能か？

ここで、ｙ＝√ｘがすべての数「ｘ」に対して微分可能かを考えてみましょう。
ｙ＝√ｘのグラフは下図のようになります。

ｘ＝０のときの接線はｙ軸そのものですね。
そもそも「接線の傾き」＝「微分係数」ですので、このように微分係数が定まらないときは、微分可能ではないとなります。

ｙ＝√ｘは、ｘ＝０のときに微分可能ではないということを把握しておきましょう。

・導関数の求め方：数学Ⅱのおさらい

・導関数の計算法則

導関数, 微分, ルート, 無理関数, 微分可能, √,

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

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