数学的帰納法の基本的な考え方①

数学的帰納法を使って証明するとは
１：まず出発点となる命題を証明する
２：直前の命題が正しければ、次の命題も正しいことを証明する

この２つを証明することで、すべての場合において命題が正しいことを証明する手法です。



ｎ＝１、２、３のときに①が満たされるかどうかを考えてみます。
○ｎ＝１のとき　左辺＝右辺＝２
○ｎ＝２のとき、左辺＝右辺＝８
○ｎ＝３のとき、左辺＝右辺＝２０

と確かに、ｎ＝１、２、３のとき①は成り立つことがわかります。
しかしｎ＝４以降のことを証明したわけではないので、①がすべての自然数について成り立つかどうかを証明したことにはなりません。
もっと言うと、すべての自然数について１つずつみていくのは不可能です。

ここで役に立つのが、数学的帰納法の考え方です。

とある自然数ｍがあるときに、①が成り立つと仮定しましょう。このときにｍの次の自然数ｍ＋１のときにも①が成り立つことがわかればどうでしょうか。

すでにｎ＝１のときに①が成り立つことが証明されているので、ｎ＝１の次の数、ｎ＝２のときにも①が成り立つことがわかります。ｎ＝２のときに①が成り立てば、ｎ＝３のときにも、ｎ＝３で成り立てばｎ＝４のときにも①が成り立つと、すべての自然数が①を満たすことが証明されますね。

このようにして、まず最初の命題を証明する（この場合はｎ＝１のとき）、そしてｎ＝ｍのときに命題が成り立てばｎ＝ｍ＋１のときにも命題が成り立つことを証明することで、命題がすべての条件において成り立つことを証明できます。
これが数学的帰納法の考え方です。


この例題の解法は次回のテキストで説明しましょう。