前回は数学的帰納法という証明方法について説明をしましたね。
数学的帰納法の基本的な考え方①
今回はその続きです。
すべての自然数ｎについて、
 = \frac{1}{3} n \left(n%2B1\right) \left(n%2B2\right) )
…①
であることを証明してみましょう。
この問題の解法を示しましょう。
考え方については前回のテキストを参照してください。
■１：ｎ＝１のとき
ｎ＝１のとき
 =1 \cdot 2=2)
 \left(n%2B2\right) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 3=2)
よって①が成り立つことがわかります。
■２：ｎ＝ｍのとき
ｎ＝ｍのとき①が成り立つと仮定します。つまり
 = \frac{1}{3} m \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) )
…②
が成り立っていると仮定します。
このうえで、ｎ＝ｍ＋１のときに①が成り立つかどうかを証明します。つまり
 = \frac{1}{3} \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) \left(m%2B3\right) )
…③
が成り立つかどうかを証明するわけですね。
 = 1 \cdot 2%2B2 \cdot 3%2B3 \cdot 4%2B \cdots %2Bm \left(m%2B1\right) %2B \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) )
②より、
 = \sum_{k=1}^{m} k \left(k%2B1\right) )
なので
 \left(m%2B2\right) \left(m%2B3\right) = \sum_{k=1}^{m} k \left(k%2B1\right) %2B \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) )
 \left(m%2B2\right) %2B \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) )
 \left(m%2B1\right) \left(m%2B2\right) )
 \left(m%2B2\right) \left(m%2B3\right) )
となり、③の右辺と同じになりましたね。
以上のことから、ｎ＝ｍのときに①が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｍ＋１のときにも①が成り立つことがわかりました。
数学的帰納法からすべての自然数ｎについて①が成り立つことが証明されたことになります。
