弧度を使って弧の長さと面積を求める
このテキストでは、弧度を使って弧の長さと面積を求める方法を解説しています。
半径がrで中心角がθの扇の弧の長さをl、面積をSとしましょう。
扇の弧の長さ
ここで思い出してください。
円の弧の長さは、
2 × π ×r
で求めることができました。そして弧度法の場合、
円1周の角度は2πで表すことができます。
中心角が2πのとき、その弧の長さ(すなわち円周は)2πrですが、中心角がθのときはどう表せるのか、というように考えます。
2π:2πr=θ:l
これを整理して
※ただしθは弧度法で表したものに限る
扇の面積
続いて扇の面積について考えてみましょう。
円の面積Sは
S=r × r × π=r² π
で求めることができました。先ほどと同じように考えます。
中心角が2πのとき、その面積はr² πです。では中心角がθのとき、その面積Sはどうなるでしょうか。
2π:r² π = θ:S
これを整理すると
※ただしθは弧度法で表したものに限る
また、①と②から
を導くことができます。
これらの計算式は弧度法のときのみですので気をつけてくださいね。