２次関数の文章問題
グラフをかいて２次関数の最大値・最小値を求める方法がわかったところで、最大値最小値を用いる文章問題にチャレンジしてみましょう。
問題
長さ１２cmの針金を折り曲げて長方形を作る。そのうち１つの辺の長さをx(cm)とし、出来上がった長方形の面積をy(cm²)としたとき、yが最大となるときの値と、そのときのxの値を求めなさい。
文章問題を解くためには、設問から
式をきちんと立てられるかがポイントです。式さえ立てられれば、これまで学習してきた通りに、最大値と最小値を求めることができますからね。
長方形の面積yをどのような式で表すか、考えてみましょう。
解答
設問より、長方形の１辺の長さがxです。このとき、もう１辺の長さはどのように表すことができるでしょうか。
仮に、もう１辺の長さをz(cm)としたとき、長方形の辺の長さの合計が１２cmであることから
２x＋２z＝１２
x＋z＝６
z＝６−x
と表すことができますね。このことから長方形の面積yは
y＝x×(６−x)＝−x²＋６x
そして長方形の辺の長さは必ず０より大きいので
・x＞０
・６−x＞０
まとめて、"
０＜x＜６"であることもわかりました。
"
y＝−x²＋６x"という式が立てられたので、あとは"０＜x＜６"の範囲で、この式の最大値がどうなるのかを求めていきましょう。
"y＝−x²＋６x"を
平方完成すると"y＝−(x−３)²＋９"となるので、これをもとにグラフをかくと次のようになります。
グラフより、x＝３のときにyの値は最大となり、その値が９であることがわかりますね。
答え 最大値９（x＝３）
いまみてきたように、文章問題は、文章にのっとってうまく式を立てられるかどうかがポイントです。
