2次関数の文章問題
グラフをかいて2次関数の最大値・最小値を求める方法がわかったところで、最大値最小値を用いる文章問題にチャレンジしてみましょう。
問題
長さ12cmの針金を折り曲げて長方形を作る。そのうち1つの辺の長さをx(cm)とし、出来上がった長方形の面積をy(cm²)としたとき、yが最大となるときの値と、そのときのxの値を求めなさい。
文章問題を解くためには、設問から
式をきちんと立てられるかがポイントです。式さえ立てられれば、これまで学習してきた通りに、最大値と最小値を求めることができますからね。
長方形の面積yをどのような式で表すか、考えてみましょう。
解答
設問より、長方形の1辺の長さがxです。このとき、もう1辺の長さはどのように表すことができるでしょうか。
仮に、もう1辺の長さをz(cm)としたとき、長方形の辺の長さの合計が12cmであることから
2x+2z=12
x+z=6
z=6−x
と表すことができますね。このことから長方形の面積yは
y=x×(6−x)=−x²+6x
そして長方形の辺の長さは必ず0より大きいので
・x>0
・6−x>0
まとめて、"
0<x<6"であることもわかりました。
"
y=−x²+6x"という式が立てられたので、あとは"0<x<6"の範囲で、この式の最大値がどうなるのかを求めていきましょう。
"y=−x²+6x"を
平方完成すると"y=−(x−3)²+9"となるので、これをもとにグラフをかくと次のようになります。
グラフより、x=3のときにyの値は最大となり、その値が9であることがわかりますね。
答え 最大値9(x=3)
いまみてきたように、文章問題は、文章にのっとってうまく式を立てられるかどうかがポイントです。