微分を用いて接線を求める
ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標がわかっていない場合について解説していきます。このテキストを読む前に、
微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)をしっかりと理解しておいてください。
点A(３、９)から"y＝x²"に引いた接線の方程式を求めなさい。
ポイント
前回のテキストの問題と比較してみましょう。前回のテキストの問題は、
"y＝x²"上の点(２、４)における接線の方程式を求めなさい。
でした。この２つの大きな違いは、
接点の座標がわかっているかいないかです。今回の問題は接点の座標がわからない問題です。
接点の座標がわからない場合はどうすればよいのか。それは
自分で接点のx座標を"a"と決めちゃう
このことを頭に、問題を解いていきましょう。
解答
"y＝x²"上の接点のx座標を"a"とすると、y座標は"(a、a²)"となります。この条件で、
微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)と同じように接線の方程式を求めていきます。
"y＝x²"を微分すると"y＝２x"なので、点"(a、a²)"を通る接線の傾きは、
２×a＝２a
となります。つまり求める接線は、傾きが"２a"で(a、a²)で接する直線となります。
y−a²＝２a(x−a)
y＝２ax−２a²＋a²
y＝２ax−a² ー①
この直線が(３、９)を通るときのaの値は、
９＝６a−a²
a²−６a＋９＝０
(a−３)²＝０
a＝３ ー②
①に②を代入して
y＝６x−９
これが、求める接線の方程式となります。
