微分を用いて接線を求める
ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている場合)について解説していきます。文字で書いても「？」でしょうから、早速問題を使ってみていきましょう。
"y＝x²"上の点(２、４)における接線の方程式を求めなさい。
グラフにすると次のようなイメージですね。
いきなりこんな問題を出されてもわからなくて当然です。１つずつ、噛み砕いて説明していきましょう。
ポイント
まず、
直線の方程式を求める公式を思い出しましょう。
傾きが２で、点(１、４)を通る直線の方程式を求めなさい。
y−４＝２(x−１)
y＝２x−２＋４
y＝２x＋２
この問題と同じように、接線の方程式を求めるためには、
直線の傾きと接線上の点の座標が１つわかっていればよいことになります。
ここで思い出しましょう。
つまり、
y＝x²を微分して、x＝２のときの微分係数を求めると、その値が接線の方程式の傾きとなるというわけです。
解答
y＝x²を
微分すると、
y'＝２x ー①
①のx＝２のときの微分係数は、
２×２＝４
以上のことから求める接線は、傾きが４、点(２、４)でy＝x²と接することとなります。
y−４＝４(x−２)
y＝４x−８＋４
y＝４x−４
これが求める接線の方程式です。
大切なことなのでもう１度書いておきます。
今回は、接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標が与えられている場合についてみてきました。次回は、
接点の座標が与えられていない場合についてみていきます。
