垂直２等分線の考えを用いて、次の問題を解いてみましょう。
三角形ABCのそれぞれの頂点を通る円を図示しなさい。
問題をより簡単に表すと、「
点A、点B、点Cを含む円を描きなさい」となります。
適当に描くと上図のようになるのですが、この円を求めるには一体どうしたらよいでしょうか。
円の性質から考える
ここで円の性質について考えてみましょう。
円は、
円の中心Oから同じ距離にある点の集合体のことです。
ということは、
「OA=OB=OC」となるような点が、円の中心であることがわかります。（OA、OB、OCは円の半径にあたります。）
垂直２等分線から考える
ではまず、点Aと点Bから等距離にある点を探してみましょう。
２点から等距離にある点を探すためには、その２点を結んだ直線の垂直２等分線を求めればよかったですよね。垂直2等分線の描き方については各自復習をしておいてください。
今回の問題に当てはめると、次のようになります。
点Aと点Bを結ぶ直線の垂直２等分線を①としましょう。
続いて点Bと点Cを結ぶ直線BCの垂直2等分線を求めます。
点Bと点Cを結ぶ直線の垂直2等分線を②とします。
そして最後に、点Cと点Aを結ぶ直線CAの垂直2等分線です。
点Cと点Aを結ぶ直線の垂直2等分線を③とします。
このとき①、②、③は
不思議と１つの点で交わります。この点をO’としたときに
O’はABの垂直2等分線①上の点であることから、O’A=O’B
O’はBCの垂直2等分線①上の点であることから、O’B=O’C
O’はCAの垂直2等分線①上の点であることから、O’C=O’A
すなわち、このO’こそが3点A、B、Cから等しい距離にある点だと言えます。
ここでもう1度問題に振り返ってみましょう。
問題は、「
点A、点B、点Cを含む円を描きなさい」でしたので、このO’を中心にして「OA=OB=OC」が半径となる円を描けばいいということになります。
A、B、Cから等しい距離にある点を求めるのではなく、円を描くのが目的ですので、ケアレスミスをしないようにしましょう。せっかくここまでできたのにもったいないですからね。
が答えとなります。
ちなみに今回は垂直2等分線を３本引きましたが、垂直２等分線を２本ひくだけで交点は求められます。
