三角関数の基本[弧度法で表されたθを用いてsinΘ,cosΘ,tanΘの値を求める問題]

著者名：ふぇるまー

三角関数とは

座標のx軸の正の部分を出発点(始線)として、図の色のかかった角の大きさをθとします。点Pの座標を(x，y)としたとき、sinΘ、cosΘ、tanΘの値は、円の半径rの値に関係なく、次のように表すことができます。

$\sin \theta = \frac{y}{r}$
$\cos \theta = \frac{x}{r}$
$\tan \theta = \frac{y}{x}$

sinΘ、cosΘ、tanΘをまとめて、θの三角関数といいます。三角比と関数の概念を組み合わせたものです。

練習問題１

$\theta = \frac{5}{4} \pi$
のとき、sinΘ、cosΘ、tanΘの値を求めなさい。

まず、弧度法による角の表し方が理解できているかを確認してください。弧度法では、"１８０°＝π"と表しました。

$\theta = \frac{5}{4} \pi$

を度数法に表しなおすと

$\theta =180 ^{ \circ } \times \frac{5}{4} =225 ^{ \circ }$

先ほど、三角関数を考えるときに円の半径rの値に関係ないと書きました。これは裏を返すと、半径の長さを、自分で計算のしやすい値で仮定して計算してもよいということです。

"OP＝√2"とおくとPの座標は、P(−１，−１)となります。(△OPQが∠QOP＝∠QPO＝４５°の三角形のため)

このとき、

$\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2} } =- \frac{\sqrt{2}}{2 }$
$\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2} } =- \frac{\sqrt{2}}{2 }$
$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-1}{-1} =1$

練習問題２

$\theta =- \frac{10}{3} \pi$
のとき、sinΘ、cosΘ、tanΘの値を求めなさい。

"１８０°＝π"なので

$\theta =- \frac{10}{3} \pi$

を度数法に表しなおすと、

$\theta 180 ^{ \circ } \times - \frac{10}{3} =-600 ^{ \circ }$

x軸の正の部分を出発点(始線)として、時計回りの方向に１回転(３６０°)し、さらに２４０°進んだところが−６００°です。つまり"−６００°"は、−２４０°を考えるのと同じということですね。

OP＝２とすると、△OPQは∠POQ＝６０°の三角形なので、P(−１，√3)となります。

$\sin \theta = \frac{y}{r} = - \frac{\sqrt{3}}{2 }$
$\cos \theta = \frac{x}{r} = - \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{y}{x} = - \sqrt{3}$

・三角関数の性質[θ＋２nπの公式]

・弧度法とは[弧度法の覚え方と度数法を弧度法にする問題]

・三角関数の相互関係による式の値を求める問題

・三角関数の単位円

・弧度法

弧度法, 三角関数,

2013　数学Ⅱ　東京書籍

2013　数学Ⅱ　数研出版

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