練習問題
問題
次の命題を、背理法を用いて証明しなさい。
「整数nについて、nが奇数ならば、n²は奇数である」
まず命題について整理していきましょう。説明をしやすくするために、「nが奇数」を条件p、「n²は奇数」を条件qとします。
つまりこの問題は、
「p⇒q」が正しいことを証明しなさいといっているんですね。背理法を用いて証明をしますので、「
」と仮定して、「
」に矛盾が生じていないかどうかをチェックしていきます。
まず条件pですが、「整数nは奇数」とのことですから、整数kを用いて
n＝２k＋１
と表すことができます。このときn²は、
n²＝(２k＋１)²＝４k²＋４k＋１＝２(２k²＋２k)＋１
kが整数なので、"２k²＋２k"も整数となります。ということは、"２(２k²＋２k)"は２の倍数なので偶数となります。つまり"２(２k²＋２k)＋１"は、"偶数＋１"な数なので奇数となります。
このことから、qを否定した「nが奇数のときにn²は偶数である」という命題には
矛盾が生じます。ゆえに「
」ではないので、もとの命題「p⇒q」は正しいことが証明されました。
ポイント
背理法でよく出題される問題が、整数nについて「nが偶数」の否定、「nが奇数」の否定、「nが３の倍数」の否定などです。
背理法でつまづく人の中には、これらの否定がうまくできずに悩んでいる人もいます。
■「nが偶数」の否定
「nが偶数」の否定は「nは奇数」ですね。
ちなみにnが偶数のとき、nを、整数kを用いて"n＝２k"と表します。
■「nが奇数」の否定
「nが奇数」の否定は「nは偶数」ですね。
ちなみにnが奇数のとき、nを、整数kを用いて"n＝２k＋１"と表します。
■「nが３の倍数」の否定
「nが３の倍数」の否定は、「nが３の倍数ではない」です。
３の倍数ではないnを、整数kを用いて表すと、次の２通りになります。
"n＝３k＋１"、または"n＝３k＋２"。
与えられた"n"をどうやったら式で表すことができるのかを意識して解いてみてはいかがでしょうか。
