"すべての"と"ある"の否定
すべての実数xについて、x²＞０ ー①
ある実数yについて、y²≦０ ー②
この２つの命題を否定してみましょう。
ここでポイントとなるのは、
"すべての"と"ある"の否定のしかたです。次の２つのことを覚えましょう。理屈よりも覚えてしまった方が早いかもしれません。
命題「
すべての実数xについて、pである」の否定は、「
ある実数xについて
」
命題「
ある実数yについて、qである」の否定は、「
すべての実数yについて
」
"すべて"を否定すると"ある"に、"ある"を否定すると"すべて"になります。
■命題①の否定
命題①「
すべての実数xについて、x²＞０」を否定しましょう。
まず、"すべての"を"ある"に変更します。
「
ある実数xについて○○○○○○○○○」
次に○に入る部分を考えます。つまり「x²＞０」を否定するということですね。
"x²＞０"の否定は、"x²≦０"です。(
x²＜０ではありませんからね。)
このことから、「ある実数xについてx²≦０」が、命題①の否定となります。
■命題②の否定
命題②「ある実数yについて、y²≦０」を否定しましょう。
まず、"ある"を"すべての"に変更します。
「
すべての実数yについて○○○○○○○○○」
次に、○に入る部分を考えます。つまり「y²≦０」を否定するということですね。
"y²≦０"の否定は、"y²＞０"です。(
y²≧０ではありませんからね。)
このことから、「すべての実数yについて、y²＞０」が命題②の否定となります。
ちなみに、命題①は偽で、命題②は真です。
