角錐・円錐の表面積
立体すべての面の面積の合計のことを
表面積と言います。例えば次の三角錐の表面積を考えてみましょう。
「表面積を求めよ」という場合は、右図のように展開をして、4つの面の面積を1つずつ求めてそれらを足すことで、角錐の表面積が求まります。
立体の表面積は、立体を展開してから考える
練習問題
では早速、練習問題を解いてみましょう。応用問題です。角錐ではなく円錐の表面積を実際に求めてみましょう。次に与えられた条件だけで、円錐の表面積を求めることができるでしょうか。
■次の円錐の表面積を求めよ
◆ポイント
・立体の表面積を求めるために、立体を展開してみる
・円錐の展開図はどのような形であったかを思い浮かべる
・底面の円周は、扇の弧と同じ長さということに気づけるか
円錐を展開すると、次のようになります。わかりやすくするために、点O、点A、点Bを図のようにおきます。
この図から、扇の面積と円の面積をそれぞれ求めて、足したものが円錐の表面積であることがわかりますね。
■扇の面積
扇の面積を求める公式は、
でしたね。しかし中心角αの値はこの問題では与えられていないため、この公式を使うのはむずかしいような気がします。ではちょっとアプローチをかえてみましょう。
ポイントにも書きましたが、円錐を展開したときに、
底面の円の円周と扇の弧の長さが同じという性質を利用します。
円の円周は、
扇OABの弧の長さは、公式より
となります。これらの値が同じになるので
という式がたてられますね。この式を計算して
が求まります。さて、ようやく扇の中心角の値がわかりました。これを使って扇の面積を求めましょう。扇の面積は、
■円の面積
そして底面の円の面積は、
■最後に2つを足す
この2つの面積の合計が円錐の表面積となります。
(答)28π