角錐と円錐の表面積の求め方

立体すべての面の面積の合計のことを表面積と言います。例えば次の三角錐の表面積を考えてみましょう。


表面積を求めよという場合は、右図のように展開をして、４つの面の面積を１つずつ求めてそれらを足すことで、角錐の表面積が求まります。




では、早速問題を解いてみましょう。応用問題です。角錐ではなく円錐の表面積を実際に求めてみましょう。次に与えられた条件だけで、円錐の表面積を求めることができるでしょうか。

次の円錐の表面積を求めよ

円錐を展開すると、次のようになります。わかりやすくするために、点O、点A、点Bを図のようにおきます。


この図から、扇の面積と円の面積をそれぞれ求めて、足したものが円錐の表面積であることがわかりますね。


扇の面積を求める公式は、


でしたね。しかし中心角αの値は、この問題では与えられていなく、この公式を使うのはむずかしいような気がします。ではちょっとアプローチをかえてみましょう。

ポイントにも書きましたが、円錐を展開したときに、底面の円の円周と扇の弧の長さが同じという性質を利用します。

円の円周は、


扇OABの弧の長さは、公式より


となります。これらの値が同じになるので


という式がたてられますね。この式を計算して


が求まります。さて、ようやく扇の中心角の値がわかりました。これを使って扇の面積を求めましょう。扇の面積は、



そして底面の円の面積は、



この２つの面積の合計が円錐の表面積となります。



（答）２８π