直線に対して対称な点の座標を求める
直線l:x+y-1=0 に関して、点P(3,2)と対称な点Qの座標を求めてみましょう。
まずは、図を描いて考えてみましょう。
点Q(a,b)とします。
lに対して点Pと対称の位置にあるということは、次の2つのことが言えます。
1:直線lとPQとは垂直に交わる
2:PQの中点Mがl上にくる
解法
それでは、1と2を使って問題を解いてみます。
■1:2つの直線は垂直に交わる
PQの傾きは次の式で表すことができます。
そしてlとPQは垂直に交わるので、傾きの積が-1になります。
これを整理して
a-b=1 …①
■2:PQの中点Mはl上にある
PQの中点を
M(x₁,y₁)とすると,Mはl上にあることから
x₁+y₁-1=0 …②
また、MはPQの中点であることから
②、③、④より
これを整理して
a+b=-3 …⑤
■1と2で求めた数式を連立させる
①と⑤より
a=-1、b=-2
よってQ(-1,-2)となります。
まとめ
直線に関して対象な点を考えるときは
1:直線lとPQとは垂直に交わる
2:PQの中点Mがl上にくる
を意識するようにしましょう。