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14_80 点と直線 / 2直線の交点

直線に対して対称な点の座標の求め方をわかりやすく徹底解説

著者名: OKボーイ
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直線に対して対称な点の座標を求める

直線l:x+y-1=0 に関して、点P(3,2)と対称な点Qの座標を求めてみましょう。


まずは、図を描いて考えてみましょう。
点Q(a,b)とします。
ALT


lに対して点Pと対称の位置にあるということは、次の2つのことが言えます。

1:直線lとPQとは垂直に交わる

2:PQの中点Mがl上にくる


解法

それでは、1と2を使って問題を解いてみます。

1:2つの直線は垂直に交わる

PQの傾きは次の式で表すことができます。

ALT


そしてlとPQは垂直に交わるので、傾きの積が-1になります。

ALT


これを整理して

a-b=1 …①


2:PQの中点Mはl上にある

PQの中点をM(x₁,y₁)とすると,Mはl上にあることから

x₁+y₁-1=0 …②


また、MはPQの中点であることから

ALT

ALT



②、③、④より

ALT


これを整理して

a+b=-3 …⑤


1と2で求めた数式を連立させる

①と⑤より 

a=-1、b=-2

よってQ(-1,-2)となります。

まとめ

直線に関して対象な点を考えるときは
1:直線lとPQとは垂直に交わる

2:PQの中点Mがl上にくる

を意識するようにしましょう。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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