２つの点から等距離にある点の軌跡
点A(２，０)とB(０，４)から等距離にある点Pの軌跡を求めてみましょう。
実は、点の軌跡を求めるには手順が決まっています。
その手順に従って解いていけば、必ず軌跡は求めることができます。
ステップ１
点Pの座標を(x、y)とする
言葉通りで、点Pの座標を(x、y)とします。
ステップ２
点A、B、Pがどのような関係にあるのか式をたてる。
次に、点A、B、Pがどのような関係にあるのかを考えます。
「点Pは点Aと点Bから等しい距離にある」ので、
AP＝BP ー①
という式がたてられますね。
ステップ３
与えられた条件を①に当てはめる
点Aと点Bの座標は与えられています。そして点Pの座標は(x，y)としました。このことから
APとBPの長さを求めることができますね。
座標上の２点間の距離を求める公式より
AP²＝(x−２)²＋(y−０)²＝(x−２)²＋y²
BP²＝(０−x)²＋(４−y)²＝x²＋(４−y)²
①より
AP²＝BP²もまた成り立つので、
(x−２)²＋y²＝x²＋(４−y)²
ステップ４
作った式を整理したものが求める軌跡の方程式
(x−２)²＋y²＝x²＋(４−y)²
x²−４x＋４＋y²＝x²＋１６−８y＋y²
４x−８y＋１２＝０
x−２y＋３＝０ ー②
"x−２y＋３＝０"が答えです。
ステップ５
逆もまた正しいことを証明する
②上に任意の点をとって、その点がAとBから等距離にあることが証明できれば、②上の点はAとBから等距離にある点の軌跡であると断定できます。
②上の点を{t，(t＋３)/2}とします。
※②にx＝tを代入してyの値をだしています。
先ほどの計算より
・"AP²＝(x−２)²＋y²"
・"BP²＝x²＋(４−y)²"
なので、これらに{t，(t＋３)/2}を代入します。
 ^{2} %2B \left( \frac{t%2B3}{2} \right) ^{2} )
 ^{2} )
 %2B \frac{ \left(t%2B3\right) ^{2} }{4} )
以上から"AP²＝BP²"であることがわかりました。
AP>０かつBP＞０なので、"AP²＝BP²"ということは"AP＝BP"でもありますね。
つまり、"x−２y＋３＝０"上の点Pは、AとBから等しい距離にあることがわかります。
このステップ５は、当たり前のことなので、省略して次のように書いても大丈夫です。ただし、問題文にきちんとステップ５のところも書きなさいとあれば、きちんと書くようにしましょう。
ステップ５
「逆に③上の任意の点P(x、y)は条件を満たす。」
