２次関数の平行移動
問題
y＝２x²を平行移動した放物線が点(１、ー２)を通る。また、この放物線の頂点がy＝ー２x²上にあるとき、このグラフの式を求めなさい。
y＝ax²のグラフを
平行移動して、
・
"y=a(x-p)²+q"
の形にすることはすでに学習済みかと思います。
この平行移動のテクニックを使って問題を解く練習をしましょう。
[ポイント]
求める２次関数の式を、"y＝ax²＋bx＋c"とおくのか、"y＝a(x−p)²＋q"とおくのかを見極める。
解法
求める２次関数の式をどうおくかですが、設問で「放物線の[red頂点が"y＝ー２x²上にある"」とあるので、頂点の値が把握しやすい"y＝a(x−p)²＋q"とおいて考えます。「なんで？」という人は、一度"y＝ax²＋bx＋c"で解いてみると理解できると思います。
"y＝a(x−p)²＋q"はy＝２x²を平行移動した放物線なので、係数"a＝２"となることから、
"y＝２(x−p)²＋q" ー①
設問で与えられた条件は、①が「点(１、ー２)を通る」ことと、①の頂点が「頂点がy＝−２x²上にある」の２つなので、この２つを使って考えていきましょう。
■点(１、ー２)を通る
①が点(１、ー２)を通るのでこれを代入します。
−２＝２(１−p)²＋q
−２＝２(１−２p＋p²)＋q
−２＝２−４p＋２p²＋q
２p²−４p＋q＝４ ー②
■頂点がy＝−２x²上にある
"y＝２(x−p)²＋q"の頂点は(p、q)ですが、これが"y＝ー２x²"上にあることから
q＝−２p² ー③
③を②に代入すると
２p²−４p−２p²＝４
−４p＝４
p＝−１
これを③に代入して
q＝−２(−１)²
q＝−２
以上のことから求める放物線の式は
y＝２(x−１)²−２
